Moore 指数集的渐近性

设 $n$ 为正整数，$I$ 为 $[0,n-1]$ 中整数的 $k$ 子集。给定 $k$ 元组 $A=(\alpha_0, \cdots, \alpha_{k-1})\in \mathbb{F}^k_{q^n}$，令 $M_{A,I}$ 表示矩阵 $(\alpha_i^{q^j})$，其中 $0\leq i\leq k-1$ 且 $j\in I$。当 $I=\{0,1,\cdots, k-1\}$ 时，$M_{A,I}$ 称为 Moore 矩阵，由 E. H. Moore 于 1896 年引入。众所周知，Moore 矩阵的行列式等于 $0$ 当且仅当 $\alpha_0,\cdots, \alpha_{k-1}$ 在 $\mathbb{F}_q$ 上线性相关。称满足此性质的 $I$ 为 Moore 指数集。事实上，Moore 指数集等价于有限域上具最大左、右理想化子的极大秩距（MRD）码。已知 $I=\{0,\cdots, k-1\}$ 并非唯一的 Moore 指数集，例如（广义）Delsarte-Gabidulin 码以及 Csajb\'ok、Marino、Polverino 与第二作者最近发现的 MRD 码都给出了新的 Moore 指数集。利用代数几何方法，我们得到一个渐近分类结果：对 $q>5$，若 $I$ 不是等差数列，则存在依赖于 $I$ 的整数 $N$，使得当 $n>N$ 时 $I$ 不是 Moore 指数集。