隐藏 Markov 模型中最优变点检测的渐近操作特征

设 \xi_0,\xi_1,...,\xi_{\omega-1} 为来自具有概率分布 P^{\theta_0} 的隐藏 Markov 模型的观测，并设 \xi_{\omega},\xi_{\omega+1},... 为来自具有概率分布 P^{\theta_1} 的隐藏 Markov 模型的观测。参数 \theta_0 和 \theta_1 给定，而变点 \omega 未知。问题是在分布从 P^{\theta_0} 变为 P^{\theta_1} 后尽快报警，但避免误报。具体地，我们寻求一个停止规则 N，使我们能够顺序观测 \xi，使得 E_{\infty}N 较大，且在此约束下，sup_kE_k(N-k|N\geq k) 尽可能小。这里 E_k 表示在变点 k 下的期望，E_{\infty} 表示在无任何变化的假设下的期望。在本文中，我们研究 Shiryayev-Roberts-Pollak (SRP) 规则在隐藏 Markov 模型动态系统中的变点检测性能。通过利用似然函数的 Markov 链表示、渐近极小极大策略与 Bayes 规则的结构，以及 Markov 随机游走的序贯假设检验理论，我们证明 SRP 过程在 Pollak [Ann. Statist. 13 (1985) 206-227] 的意义下是渐近极小极大的。接下来，我们给出当 \omega=1 时此类停止方案的期望停止时间的二阶渐近逼近。受隐藏 Markov 模型中序贯分析的启发，我们也给出了 Markov 随机游走的一个非线性更新理论。