评估单调依赖：曲线下面积遇上秩相关

随机变量 $X$ 和 $Y$ 之间单调依赖的评估是统计学中的经典问题，涉及诸多应用领域。因此，研究人员一直在寻求在边际分布严格单调变换下保持不变的关联度量 measures，然而现有文献呈现出碎片化现象。秩相关系数，如斯皱尔系数 (Spearman's Rho) 和肯德尔系数 (Kendall's Tau)，在统计学文献中受到广泛研究，主要假设 $X$ 和 $Y$ 为连续变量。在二分类结果 $Y$ 的情况下，接收者工作特征曲线分析和非对称曲线下面积 (AUC) measure 用于评估 $Y$ 对协变量 $X$ 的单调依赖。本文通过构建普适的群体层面理论、估计量和检验方法，实现了连续和二分类情形之间的统一与拓展，适用于所有线性有序结果。在此基础上，我们引入非对称等级相关 (asymmetric grade correlation, AGC$(X,Y)$)，定义为中分布函数变换（即等级）$X$ 和 $Y$ 之间的协方差，除以 $Y$ 等级的方差。单调关联系数定义为 $CMA(X,Y) = \frac{1}{2} (AGC(X,Y) + 1)$。当 $X$ 和 $Y$ 为连续时，AGC 为对称的，等价于斯皱尔系数。当 $Y$ 为二分类时，CMA 等价于 AUC。我们为 AGC 和 CMA 的样本版本建立中心极限定理，发展一种类似 DeLong 方法的检验，用于检验具有共享结果 $Y$ 的 AGC 或 CMA 值的相等性。在案例研究中，我们将新方法用于评估数据驱动的天气预测进展，以及评估大语言模型不确定性定量方法。