带噪声的 Arnold 映射：旋转数的可微性与非单调性

Arnold 标准圆映射被广泛用于研究准周期通向混沌的路径，以及存在两个有理无关周期的非线性动力学相关现象。特别地，厄尔尼诺-南方涛动（ENSO）现象是年际时间尺度上气候变率的关键组成部分，它一方面受季节循环主导，另一方面受周期为数年的内在振荡不稳定性的主导。更短时间尺度上的气象现象（如西风爆发）的作用也已得到认识，并被建模为加性噪声。本文我们考虑带加性均匀分布噪声的 Arnold 映射。当映射的非线性项（由参数 $\epsilon$ 缩放）足够小，即 $\epsilon < 1$ 时，已知该映射是微分同胚，且旋转数 $\rho_{\omega}$ 是驱动频率 $\omega$ 的可微函数。我们聚焦于非线性变强时旋转数的行为，并严格证明即便在 $\epsilon \geq 1$ 时，在噪声扰动映射为混合的每一点处，$\rho _{\omega }$ 也是 $\omega$ 的可微函数。我们还给出了旋转数导数的公式。该推理依赖于线性响应理论和计算机辅助证明。在 $\epsilon <1$ 的微分同胚情形下，旋转数 $\rho_{\omega }$ 关于 $\omega$ 单调变化。我们利用计算机辅助证明再次表明，当 $\epsilon \geq 1$ 且映射不是微分同胚时，情况并非如此。