椭圆曲线的算术统计与丢番图稳定性

我们研究了定义在有理数上的椭圆曲线在各种素数幂次循环 Galois 扩张中 Mordell-Weil 群与 Tate-Shafarevich 群的增长与稳定性。Mazur 与 Rubin 引入了椭圆曲线 $E$ 在给定素数 $p$ 处 Mordell-Weil 群的丢番图稳定性概念。受其对 Mordell-Weil 群稳定性定义的启发，我们引入了 Tate-Shafarevich 群的一个类似稳定性概念，称为“Sha”-稳定性。利用算术统计与 Iwasawa 理论中的方法，我们研究了椭圆曲线平均意义下的丢番图稳定性。首先，我们对固定椭圆曲线 $E$ 与变化素数 $p$ 证明结果。结果表明，任何定义在有理数上秩为 0 的非 CM 椭圆曲线在 $100\%$ 的素数 $p$ 处是丢番图稳定且“Sha”-稳定的。接下来，我们证明关于秩分布的标准猜想给出了在固定素数 $p\geq 11$ 处为丢番图稳定的有理椭圆曲线 $E$ 比例的下界。我们还研究了在素数幂次循环扩张中秩跳跃以及 Tate-Shafarevich 群秩平均增长的相关问题。