加倍度量中定向越野与截止期限 TSP 的近似方案

在本文中，我们研究了具有有界加倍维度和有界树宽的图上的 $k$-stroll、点对点定向越野以及截止期限 TSP 问题，并提出了它们的近似方案。给定一个加权图 $G=(V,E)$、起始节点 $s\in V$、距离 $d:E\rightarrow \mathbb{Q}^+$ 和整数 $k$。在 $k$-stroll 问题中，目标是找到一条从 $s$ 出发、访问至少 $k$ 个顶点的最小长度路径。$k$-stroll 的对偶问题是根定向越野，其中给定一个预算 $B$ 而不是 $k$，目标是找到一条从 $s$ 出发、长度最多为 $B$ 且访问尽可能多顶点的游走。在 P2P 定向越野中，给定路径的起始和结束节点 $s,t$。在截止期限 TSP 中，给定每个 $v\in V$ 的截止期限 $D(v)$，目标是找到一条从 $s$ 出发的游走，在顶点截止期限之前访问尽可能多的顶点。根定向越野或 P2P 定向越野的最佳近似是 $(2+\epsilon)$-近似 [12]，截止期限 TSP 的最佳近似是 $O(\log n)$-近似 [3]。对于任何度量（即使是树），目前都没有已知的截止期限 TSP 近似方案。我们的主要结果是针对具有有界加倍维度的度量的第一个截止期限 TSP 近似方案。为此，我们首先证明如果 $G$ 是一个加倍维度为 $\kappa$ 且纵横比为 $\Delta$ 的度量，则存在一个运行时间为 $n^{O\left(\left(\log\Delta/\epsilon\right)^{2\kappa+1}\right)}$ 的 $(1+\epsilon)$-近似。然后我们对其进行扩展，在距离和截止期限为整数时，获得了一个运行时间为 $n^{O\left(\left(\log \Delta/\epsilon\right)^{2\kappa+2}\right)}$ 的截止期限 TSP 近似方案。对于树宽为 $\omega$ 的图，我们展示了如何在多项式时间内精确求解 $k$-stroll 和 P2P 定向越野，并在 $n^{O((\omega\log\Delta/\epsilon)^2)}$ 时间内获得截止期限 TSP 的 $(1+\epsilon)$-近似。