旅行修理工问题及其他最小延迟问题的多项式时间近似方案

我们给出了欧几里得平面和加权树上旅行修理工问题 (TRP) 的多项式时间$(1+\epsilon)$-近似算法。这改进了这些问题已知的准多项式时间近似方案。该算法基于一种简单的技术，将 TRP 归约为我们所称的\emph{分段 TSP}。在此问题中，给定数字$l_1,\dots,l_K$和$n_1,\dots,n_K$，我们需要找到一条路径，使得对于所有$h\in\{1,\dots,K\}$，在距起点路径距离$l_h$内访问至少$n_h$个点。如果对于所有$h$，在距离$\alpha l_h$内访问了至少$n_h$个点，则称解为$\alpha$-近似。研究表明，在任何度量空间中，若存在一种算法对\emph{每个常数}$K$均为$\alpha$-近似，则该算法可为同一度量空间中的 TRP 提供$\alpha(1+\epsilon)$-近似。随后，我们给出了平面和加权树上该分段 TSP 问题的近似方案。仅含一个分段 ($K=1$) 的分段 TSP 等价于$k$-TSP，后者在一般度量空间中已知有$(2+\epsilon)$-近似。因此，这种通过分段 TSP 的方法为改进一般度量空间中 TRP 的 3.59-近似提供了新动力。类似的归约适用于许多其他最小延迟问题。为了说明该方法的优势，我们将其应用于研究广泛的调度问题，即在优先约束下最小化总加权完成时间问题$1|prec|\sum w_{j}C_{j}$，并针对区间序优先约束情形提出了多项式时间近似方案。这改进了该问题已知的$3/2$-近似。若问题中加入释放时间，这两种近似方案同样适用。