利用浅层电路近似良态矩阵的行列式

行列式可由深度为 $O(\log^2 n)$ 的经典电路计算，因此也可在 $O(\log^2 n)$ 的经典空间内计算。Ta-Shma [Ta13] 的最新进展提出了一种方法，可在 $O(\log n + \log \kappa)$ 的量子空间内近似条件数为 $\kappa$ 的 Hermitian 矩阵的行列式。然而，目前尚不清楚如何仅使用经典资源在小于 $O(\log^2 n)$ 的空间内完成该任务。在本工作中，我们表明矩阵的条件数意味着该任务的深度复杂度（因而也是空间复杂度）的上界：条件数为 $\kappa$ 的 Hermitian 矩阵的行列式，可以用深度为 $\tilde O(\log n \cdot \log \kappa)$ 的经典电路近似到逆多项式相对误差；特别是，对于充分良态的矩阵，可以在 $\tilde{O}(\log n)$ 的深度内近似其行列式。我们的算法结合了 Barvinok 近期用于近似组合计数问题的复分析方法 [Bar16] 与 Valiant-Berkowitz-Skyum-Rackoff 针对低次算术电路的深度归约定理 [Val83]。