基于瞬子展开的低温度自由能计算的近似最优控制

自由能的计算是统计物理中的常见问题。计算此类高维积分的自然技术是借助蒙特卡洛模拟。然而这些技术在低温 regime 下通常方差很大,因为期望往往由对应于稀有系统轨迹的高值主导。降低估计量方差的标准方法是用增强稀有事件概率的控制修改动力学漂移项,从而得到所谓的重要性采样估计量。理论上,最优控制导致零方差估计量;但它被隐式定义,且计算它与原问题同样困难。我们在此提出一种在低温极限下为扩散过程构建近似最优控制的通用策略,首要目标是降低自由能蒙特卡洛估计量的方差。我们的构造基于低噪声渐近,通过将最优控制围绕瞬子展开,瞬子是描述低温下最可能涨落的路径。该技术不仅有助于降低方差,而且作为理论工具也很有意义,因为它不同于通常的低温展开(WKB 拟设)。作为我们展开的补充结果,我们给出了在低温 regime 下计算自由能的微扰公式,它改进了现在标准的 Freidlin--Wentzell 渐近。我们显式计算了低阶展开,并解释了我们的策略如何扩展到任意精度阶。我们用说明性数值例子支持我们的发现。