基于最稀疏割与扩散度量的近似层次聚类
数据结构与算法
2016-10-03 v1
摘要
Dasgupta 最近针对给定成对相似度的点集层次聚类引入了一个代价函数。他证明该函数是 NP-hard 优化问题，但一种基于均匀最稀疏割的 alpha_n-近似算法的自顶向下递归划分启发式方法可给出 O(alpha_n log n) 的近似比（当前最佳算法有 alpha_n=O(sqrt{log n})）。我们证明，上述最稀疏割启发式方法实际上可获得层次聚类的 O(alpha_n)-近似比。该算法也适用于 Dasgupta 研究的一个广义代价函数。此外，我们得到了一个强不可近似性结果，表明在假设小集合扩展 (SSE) 猜想成立的情况下，层次聚类目标难以近似到任何常数因子以内。最后，我们讨论了基于凸松弛的近似算法。我们为该问题提出了一个扩散度量 SDP 松弛，并证明其完整性间隙至多为 O(sqrt{log n})。相对于最稀疏割启发式方法，SDP 的优势在于它提供了最优解的显式下界，并可能为层次聚类产生更好的近似比。事实上，我们对这个 SDP 的分析正是我们改进最稀疏割启发式方法分析的灵感来源。我们还证明，一个扩散度量 LP 松弛可给出 O(log n)-近似比。
引用
@article{arxiv.1609.09548,
title = {Approximate Hierarchical Clustering via Sparsest Cut and Spreading Metrics},
author = {Moses Charikar and Vaggos Chatziafratis},
journal= {arXiv preprint arXiv:1609.09548},
year = {2016}
}