层次聚类可采纳目标函数的特征

层次聚类是数据分析中的基本任务，长期以来一直缺乏原则化的目标函数。Dasgupta [STOC 2016] 通过引入离散目标函数建立了正式框架，随后 Cohen-Addad 等人 [J. ACM 2019] 引入可采纳性概念——一种确保当输入相似性 admits consistent hierarchical representations 时，目标函数的最小化器能够恢复这些表示的准则。他们还提供了广泛目标函数类中可采纳性的必要充分条件，称为求和型目标函数。我们的贡献有两个方面。首先，我们在缩放函数 g 为最多二次对称多项式时 characterize 可采纳求和型目标函数，并在三次情况给出充分条件。对于该类可采纳目标函数，我们证明递归稀疏切割算法 achieves O($\phi$) 近似比率，其中 $\phi$ 表示稀疏切割子程序的近似因子。其次，我们引入新的目标函数类，称为 max 型目标函数，其中聚类间交互通过最大化而非聚合相似度进行度量。对于该类，我们建立了任意缩放函数 g 的可采纳性一般特征，并在 g 为最多二次对称多项式时给出完整特征。这些结果为层次聚类的可采纳目标函数提供了新的理论见解，并阐明了优化这些目标函数的算法保证范围。