毕达哥拉斯胜负期望改进方法在阵容优化中的应用

Bill James 的毕达哥拉斯公式数十年来仅用极少数据便能极好地估计一支棒球队的胜率：若平均得分与平均失分分别记为 ${\rm RS}$ 和 ${\rm RA}$，则存在某个 $\gamma \approx 2$，使得胜率近似为 ${\rm RS}^\gamma / ({\rm RS}^\gamma + {\rm RA}^\gamma$。一种用例是评估潜在签约球员对球队的价值，因为该公式可让我们根据对得分产出与失分的估计变化，估算一个赛季能多赢多少场。我们总结了该主题的早期工作，并扩展了 Miller 的早期理论模型（他假设主客队的得分来自具有相同形状参数 $\gamma$ 的独立 Weibull 分布；已观察到这能很好地描述观测得分数据，并给出与 James 公式等价的胜率）。我们将该工作扩展为将得分与失分建模为来自具有不同形状参数的独立 Weibull 分布，进而考虑一阶与二阶矩以求解四个未知数构成的四元方程组。这样做能更好地拟合训练数据，在最近 30 个 MLB 赛季（1994 至 2023）中给出更高的胜率。其代价很小：我们不再拥有胜概率的闭式表达式，而必须计算 Weibull 分布的二维积分并对方程组的解进行数值估计。借助简单计算程序即可轻松完成这些。