单位 Haar 测度的反浓度不等式及其在随机量子电路中的应用

我们证明了针对单位 Haar 测度的 Carbery-Wright 风格反浓度不等式，表明随机单位矩阵条目多项式落入 $\varepsilon$ 范围内的概率最多为 $\varepsilon$ 的多项式。基于此，我们证明随机量子电路的 scrambling 速度下界：即每个输入量子位对其光锥中任意输出量子位的影响至少为指数衰减的深度。我们的 scrambling 速度结果是对特定回路从集合中选择的高概率结果，而非仅针对期望值。作为应用，我们给出第一个在多项式时间内学习深度为 log 的随机量子电路的算法，这些电路包含 Haar 随机门，给定 oracle 访问权限，误差为多项式小的 diamond 距离。其他应用包括：针对任意电路架构给出 $\Omega(\log \varepsilon^{-1})$ 的深度下界，用于 $\varepsilon$ 近似单位设计；一个多项式时间的量子算法，可计算给定 oracle 访问权限下的有界深度电路的深度。我们的学习和深度测试算法适用于在任意几何维度上定义的架构，并可推广到具有良好光锥特性的广泛类架构。