反集中与诚实的自适应置信带

现代非参数密度（及其他函数）的一致置信带的构造通常依赖于经典的Smirnov-Bickel-Rosenblatt (SBR)条件；例如，参见Giné和Nickl [Probab. Theory Related Fields 143 (2009) 569-596]。该条件要求学生化经验过程的上确界（等价于具有与学生化经验过程相同协方差函数的高斯过程的上确界）存在极值类型的极限分布。本文的主要贡献是消除了对这一经典条件的需求。我们证明了一个相当弱的充分条件来自近似高斯过程上确界的反集中性质，并推导出一个不等式，导致可分离高斯过程的这种性质。我们将新条件称为广义SBR条件。我们的新结果表明，上确界不会在任何值附近过快集中。然后我们应用这一结果推导出高斯乘子自助法，用于构造非参数密度估计量的诚实置信带（该结果也可应用于其他非参数问题）。我们方法的一个基本优势是，即使在学生化经验过程上确界的极限分布不存在（或未知）的情况下，它也能通用地应用。这在分辨率水平或其他调优参数以数据驱动方式选择的问题中尤为重要，这对于置信带的自适应构造是必需的。最后，我们引入了一种新的、实用的Lepski方法版本，该方法通过高斯乘子自助法计算最优的非保守分辨率水平，这具有独立的意义。