基于亚椭圆扩散的拟人图像重建

本文研究了Petitot、Citti和Sarti提出的视觉几何模型。该模型的一个主要特征是初级视觉皮层V1将图像从$R^2$提升到平面的方向丛。神经元被组织成朝向柱，每个朝向柱对应于该丛上的一个点。在该模型中，通过最小化激活与图像受损区域相对应的朝向柱所需的能量来重建受损图像。最小化过程本质上定义了平面方向丛上的一个亚椭圆热方程。在原始模型中，方向既考虑有朝向也考虑无朝向，分别对应平面旋转平移群SE(2)上的问题或平面射影切丛$PTR^2$上的问题。我们为该模型的几个重要事实提供了数学证明。我们首先证明，只有当方向被视为无朝向时，该模型在数学上才是一致的。然后我们证明，一个$L^2(R^2,R)$函数（例如一幅图像）与二维高斯函数的卷积通常是一个Morse函数。这一事实很重要，因为Morse函数到$PTR^2$的提升定义在一个光滑流形上。接着，我们以Mathieu函数的形式给出了$PTR^2$上亚椭圆热核的显式表达式。最后，我们介绍了一种能够在真实非学术图像上执行图像重建的算法的主要思想。一个非常有趣的点是，该算法可大规模并行化，且无需任何关于图像何处受损的信息。