分形集的各向异性覆盖

我们考虑在二维空间中使用随着尺寸减小而变得愈发各向异性的椭圆对分形集进行最优覆盖。若半短轴为 \epsilon 且半长轴为 \delta，我们设定 \delta=\epsilon^\alpha，其中 0<\alpha<1 是表征覆盖物各向异性的指数。对于点集分形，在大多数情况下，我们发现以任意给定点为中心的椭圆所能覆盖的点数 N 的期望值为 < N > ~ \epsilon^\beta，其中 \beta 是一个广义维度。我们对各种集合的函数 \beta(\alpha) 进行了数值研究，表明对于具有相同分形维度的集合，该函数可能有所不同。