高斯随机场输入下偏微分方程不确定性量化中的解析性与稀疏性

我们针对具有高斯随机场输入的线性椭圆型和抛物型散度形式偏微分方程的 countable 参数解，建立了 Wiener-Hermite 多项式混沌展开系数序列的稀疏性与可和性结果。此处发展的新颖证明技术基于参数解到复域的解析延拓。它不同于以往使用 bootstrap 论证以及对解关于参数的导数阶进行归纳的工作。本基于全纯性的论证在各种函数空间尺度下，对多项式混沌展开中 Wiener-Hermite 系数序列的稀疏性（以 $\ell^p$-可和性或加权 $\ell^2$-可和性表示）给出了统一的、“无微分”的证明。该分析还意味着，在不确定输入来自函数空间且服从高斯先验的贝叶斯反问题中，后验密度具有相应的解析性与稀疏性结果。我们的结果进一步给出了多种\emph{构造性}高维确定性数值逼近格式的维数无关收敛速率，例如在前向与反向计算不确定性量化中 Hermite-Smolyak 各向异性稀疏网格插值与求积的单层和多层版本。