基于包络界分析勒让德展开的稀疏恢复

我们给出了利用$\ell_1$最小化均匀恢复稀疏勒让德展开的新充分条件，其中采样点依据正交化（均匀）测度抽取。迄今为止，当测量矩阵与正交系统相关联时，形如$m \gtrsim \Theta^2 s \times \textit{log factors}$的条件一直被用于确定保证$s$-稀疏向量成功重建的最小样本数$m$。然而，对于稀疏勒让德展开，勒让德系统的均匀界$\Theta$过大，使得这些条件无法提供有意义的保证。本文提出一种分析，改用所有勒让德多项式的包络界，并证明了对$s$-稀疏勒让德展开的新恢复保证：$$m \gtrsim {s^2} \times \textit{log factors},$$该保证与$\Theta$无关。可以说，这是首个针对正交系统、且不假设采样矩阵一致有界性的恢复条件。我们分析的关键要素是将最近在[Bou14,CDTW15]中发展的链锁论证扩展以处理包络界。此外，我们的恢复条件通过限制特征值性质证明，它是限制等距性质的较宽松替代，非常适用于所考虑的场景。在此过程中，我们推导出检测良好样本集的简单准则。数值测试表明，满足这些准则的均匀采样点集在平均意义上恢复效果更好。