二维双障碍问题的爆破分析

在本文中，我们研究了一个带有多项式障碍 $p^1\leq p^2$ 的归一化双障碍问题，假设 $p^1(x)=p^2(x)$ 当且仅当 $x=0$。在二维情况下，我们根据多项式 $p^1, p^2$ 的系数给出了爆破解的完整刻画。特别地，我们发现存在一种新型爆破，我们称之为双锥解，因为重合集 $\{u=p^1\}$ 和 $\{u=p^2\}$ 是具有公共顶点的锥。我们证明了爆破极限的唯一性，并分析了二维自由边界的正则性。特别地，我们表明如果双障碍问题的解在原点具有双锥爆破极限，则局部自由边界由四条 $C^{1,\gamma}$-曲线组成，在原点相交。最后我们给出一个三维双锥解的例子。