平面上 Grushin 算子的最优乘子定理，I

设 $\mathcal{L} = -\partial_x^2 - V(x) \partial_y^2$ 为 $\mathbb{R}^2$ 上带系数 $V : \mathbb{R} \to [0,\infty)$ 的 Grushin 算子。在仅假设 $V(-x) \simeq V(x) \simeq xV'(x)$ 且 $x^2 |V''(x)| \lesssim V(x)$ 的条件下，我们证明了 $\mathcal{L}$ 的一个 Mihlin--H\"ormander 型谱乘子定理，其光滑性要求是最优的且与 $V$ 无关。对二阶导数 $V''$ 的假设实际上可弱化为对 $V'$ 的 Hölder 型条件。证明依赖于一维 Schr\"odinger 算子的谱分析，包括本征值间隙与势矩阵系数的普适估计。