基于算法随机性的概率概念操作化刻画及其应用
摘要
概率概念在几乎所有科学和技术领域都扮演着重要角色。然而，在现代数学中，概率论无非就是测度论，且概率概念的操作化刻画尚未建立。在本文中，基于算法随机性的工具箱，我们给出了概率概念的一种操作化刻画，称为系综。算法随机性，又称算法信息论，是数学的一个领域，使我们能够考虑单个无限序列的随机性。我们利用关于伯努利测度的Martin-Löf随机性概念来给出这一操作化刻画。作为该方向研究的第一步，为简单起见，本文考虑有限概率空间的情形，即底层概率空间的样本空间为有限的情形。我们用系综给出了条件概率概念的自然操作化刻画，并基于此给出了两个事件之间独立性概念的等价刻画。此外，我们用系综给出了任意数量事件/随机变量独立性概念的等价刻画。而且，我们证明了在底层有限概率空间可计算的情形下，事件/随机变量的独立性等价于van Lambalgen定理意义下的独立性。在本文中，我们将我们的框架应用于信息论、密码学以及用公平硬币模拟有偏硬币，以展示我们的框架在科学和技术一般领域的广泛适用性。
关键词
引用
@article{arxiv.1611.06201,
title = {An operational characterization of the notion of probability by algorithmic randomness and its applications},
author = {Kohtaro Tadaki},
journal= {arXiv preprint arXiv:1611.06201},
year = {2021}
}
备注
60 pages, LaTeX2e, no figures, a substantial extension of the previous version. This arXiv:1611.06201 deals with probability spaces whose sample spaces are finite. In contrast, arXiv:1909.02854 extends arXiv:1611.06201 over probability spaces whose sample spaces are countably infinite. On the other hand, arXiv:1804.10174 is an application of arXiv:1611.06201 to quantum mechanics