基于算法随机性的概率概念操作化刻画 II：离散概率空间
概率论
2019-09-09 v1
摘要
概率的概念在几乎所有科学和技术领域中都扮演着重要角色。然而，在现代数学中，概率论仅意味着测度论，概率概念的操作化刻画尚未建立。本文基于算法随机性的工具包，为样本空间为可数无限的通用离散概率空间，提出了一种概率概念的操作化刻画，称为系综（ensemble）。算法随机性，也称算法信息论，是数学的一个分支，使我们能够考虑单个无限序列的随机性。我们使用 Martin-Löf 随机性在 Baire 空间上关于广义伯努利测度的一个扩展，来呈现这一操作化刻画。在我们之前的工作 [K. Tadaki, arXiv:1611.06201] 中，我们为任意有限概率空间（即样本空间为有限集的概率空间）发展了概率概念的操作化刻画。随后，我们基于系综给出了有限概率空间中条件概率概念的自然操作化刻画，并以此为基础给出了两个事件之间独立性概念的等价刻画。此外，我们还基于有限概率空间的系综，给出了任意数量事件/随机变量独立性概念的等价刻画。特别地，我们证明了在底层有限概率空间可计算的情况下，事件/随机变量之间的独立性等价于 van Lambalgen 定理意义上的独立性。在本文中，我们证明这些结果确实可以扩展到样本空间为可数无限的通用离散概率空间上。
引用
@article{arxiv.1909.02854,
title = {An operational characterization of the notion of probability by algorithmic randomness II: Discrete probability spaces},
author = {Kohtaro Tadaki},
journal= {arXiv preprint arXiv:1909.02854},
year = {2019}
}
备注
50 pages, LaTeX2e, no figures. arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:1611.06201, arXiv:1804.10174