曲率的信息论重构

我们发展了一种基于信息论的内在方法，用于从热扩散的短时间行为中恢复黎曼曲率。给定某个点和切空间中的一个平面，我们通过比较沿该平面输送的热质量与其欧几里得对应量之间的相对熵来实现。我们证明，这一方向性熵的Leading级短时间失真恰好编码了流形的局部曲率。特别地，平面信息失衡决定了该点的标量曲率和截面曲率，汇聚这些方向性数值可产生与经典黎曼曲率算子完全一致的双线性张量。该方法完全基于分析方法，避免使用雅可比场、曲率恒等式或变分公式。曲率仅通过指数映射下热流的行为表现，提供了一种新视角，将曲率实现为扩散的信息缺陷。这种视角进一步暗示了几何分析与信息论之间的联系，为仅凭热扩散数据检测和重构曲率提供了原则化的分析机制。