关于噪声函数 $\ell_q$ 范数的一个改进界

令 $T_{\epsilon}$、 $0 \le \epsilon \le 1/2$，为作用于布尔立方体 $\{0,1\}^n$ 上函数的噪声算子。令 $f$ 为 $\{0,1\}^n$ 上的非负函数，令 $q \ge 1$。在arXiv:1809.09696中， $T_{\epsilon} f$ 的 $\ell_q$ 范数被其上界为 $f$ 的条件期望的平均 $\ell_q$ 范数，条件期望所给集合的元素以依赖于 $q$ 与 $\epsilon$ 的概率 $\lambda$ 随机选取。本注记中，我们对整数 $q \ge 2$ 证明了该不等式在更优（更小）参数 $\lambda$ 下成立。新不等式对子立方体的特征函数紧。作为应用，遵循arXiv:2008.07236，我们展示率为 $R$ 的Reed-Muller码在 $\mathrm{BSC}(p)$ 上以高概率解码错误若 $$R ~<~ 1 - \log_2\left(1 + \sqrt{4p(1-p)}\right).$$ 这是对arXiv:2008.07236中估计的（微小）改进。