一种改进的算法及用于计算锥函数 $P^m_{-1/2+i\tau}(x)$ 的 Fortran 90 模块

本文描述了一种算法和一个 Fortran 90 模块（\textbf{Conical}），用于计算 $x>-1$，$m \ge 0$，$\tau >0$ 条件下的锥函数 $P^m_{-\tfrac12+i\tau}(x)$。这些函数出现在圆锥域边界 Dirichlet 问题的解中；因此，它们广泛应用于工程学和物理学领域。在该 Fortran 90 模块中，使用标准 IEEE 双精度算术计算锥函数的允许参数范围限制为 $(x,m,\tau) \in (-1,1) \times [0,\,40] \times [0,\,100]$ 和 $(x,m,\tau) \in (1,100) \times [0,\,100] \times [0,\,100]$。基于对这些函数所满足的三项递推关系的测试以及与 Maple 的直接比较，我们声称在全参数范围内相对精度接近 $10^{-12}$，尽管在锥函数的振荡区域某些点处可能会发现轻微的精度损失。在计算积分表示的函数单调区域（$-1<x<0$），相对精度提高至 $10^{-13}\,-\,10^{-14}$。