两相材料中直接揭示内部几何信息的极值问题

在两相材料中，各相对时间具有非局部响应，已发现对于某些驱动场，响应会在特定时刻以某种方式解耦，并允许人们直接推断有关材料几何的有用信息，例如各相的体积分数。受此启发，并为获得设计合适驱动场的算法，我们找到了马尔可夫函数在给定一组可能复数值点（不属于测度支撑的区间 [-1,1]）处取值之间的近似、与测度无关的线性关系。该问题被简化为在区间 [-1,1] 上对给定函数的多项式逼近，并为了简化分析而采用切比雪夫逼近。由此可获得逼近误差的显式估计，以点数及各点到区间 [-1,1] 的最小距离表示。假设该最小距离由大于 1/2 的数从下方界定，则当点数增加时误差指数收敛到零。我们还得到了包含测度一组矩的近似线性关系。在启发问题的背景下，该分析还给出了任意驱动场在任意特定时刻响应的界，并允许利用适当设计、实际上仅在特定时间间隔开启的驱动场来估计给定频率处的响应。该逼近可直接推广到具有半正定算子值测度的马尔可夫型函数，这在以下情形有应用：当时间依赖的边界势被适当剪裁时，从特定时刻的边界通量测量确定物体中包覆体的形状。