三次曲面上点类非结合 Moufang 环的一个例子

设 $V$ 为由方程 $T_0^3+T_1^3+T_2^3+\theta T_3^3=0$ 定义的三次曲面，定义在 3 进数的二次扩张 $k=\mathbb{Q}_3(\theta)$ 上，其中 $\theta^3=1$。我们证明，$V$ 上几何 k-点集合模 $(1-\theta)^3$（在 $k$ 的整环中）的一个关系定义了可容关系，且与该可容等价类相关联的交换 Moufang 环是非结合的。这回答了 Yu. I. Manin 在 50 多年前提出的关于存在具有非结合点类 Moufang 环的三次曲面的问题。