一种计算有限子集在仿射变换下规范形的算法

本文描述了一种算法，用于计算 $\mathbb{Z}^d$ 有限子集在 $\mathbb{Z}$ 上仿射变换下的规范形。对于固定维度 $d$，该算法的最坏情况渐近复杂度为 $O(n \log^2 n \, s\,\mu(s))$，其中 $n$ 是给定子集中的点数，$s$ 是任意 $n$ 个点二进制表示大小的上界，$\mu(s)$ 是乘法两个 $s$ 位数字所需操作数的上界。特别是，该问题关于维度 $d$ 是固定参数可处理的。此问题出现在例如有限展示群的不变量计算背景下，其阿贝尔化群同构于 $\mathbb{Z}^d$。在该背景下，需要判定 $d$ 个不定元的两个 Laurent 多项式（视为阿贝尔化群上的群环元素）在基变换下是否等价。