q-部分分式与 Sylvester 计数函数的代数方法
数论
2021-11-09 v3
摘要
1857 年 Sylvester 建立了一种优雅的理论：某些计数函数（他称之为 denumerant）通过分解为周期与非周期部分而是拟多项式。分解的每一分量称为一个 Sylvester 波，对应于一个单位根。近来若干研究者利用组合论证或复分析技术，得到了波的显式公式。本工作中，我们发展了 Sylvester 理论的代数方法。我们的方法本质上依赖于推导 denumerant 生成函数的 -部分分式，从而得到波的新的显式公式。我们所得到的公式用退化 Bernoulli 数与 Fourier-Dedekind 和的一种推广表示。此外，我们还证明了广义 Fourier-Dedekind 和的某些互反定理以及关于波最高阶项的一个结构结果。证明依赖于我们的求值算子以及对部分分式的 Heaviside 掩盖法的深远推广。本工作的 SageMath 代码已在公共领域可用。
引用
@article{arxiv.2104.10989,
title = {An Algebraic Approach to q-Partial Fractions and Sylvester Denumerants},
author = {N. Uday Kiran},
journal= {arXiv preprint arXiv:2104.10989},
year = {2021}
}