$\mathbb{Z}_n$ 的近似最优 $\ell$-覆盖

环 $\mathbb{Z}_n$ 的子集 $B$ 若满足 $\{ ab \pmod n | 0\leq a \leq \ell, b\in B\} = \mathbb{Z}_n$，则称为 $\ell$-覆盖集。我们证明对所有 $n$ 与 $\ell$，均存在大小为 $O(\frac{n}{\ell}\log n)$ 的 $\mathbb{Z}_n$ 的 $\ell$-覆盖集，并说明如何构造这样的集合。我们还给出例子表明任意 $\ell$-覆盖集的大小必为 $\Omega(\frac{n}{\ell}\frac{\log n}{\log \log n})$。证明采用了通过筛法获得的相对欧拉函数改进界，以及具有线性因子和的较大因子的存在性。该结果可用于简化模子集和算法。