Reed-Muller 码在 BEC 与 BSC 信道上的近乎最优缩放

考虑长度为 $N$、最小距离 $d_{\text{min}}$ 的二进制线性码，在参数为 $0 < \epsilon < 1$ 的二进制擦除信道或参数为 $0 < \epsilon < \frac12$ 的二进制对称信道上传输，并采用块-MAP 译码。Tillich 和 Zemor 证明在此情形下，若最小距离较大，则块-MAP 译码器的错误概率会在任意 $\delta>0$ 时从 $\delta$ 到 $1-\delta$ “快速”转变。特别地，转变宽度为 $O(1/\sqrt{d_{\text{min}}})$ 量级。我们加强该结果，证明在码的重量分布满足适当条件下，即使码的最小距离不是线性的，转变宽度也可小至 $\Theta(1/N^{\frac12-\kappa})$（任意 $\kappa>0$）。该条件适用于例如 Reed-Muller 码。由于 $\Theta(1/N^{\frac12})$ 是任何码可能的最小转变，我们称之为“几乎”最优缩放。我们强调转变宽度与转变位置无关。因此该结果不涉及码是否达到容量。作为第二项贡献，我们给出了 EXIT 函数导数的一个新估计，其证明基于 Blowing-Up 引理。