二进制对称信道下大小为四的最优有限长分组码

一个分组长度为 $n$ 且码本大小为 $M$ 的二进制码称为 $(n,M)$ 码，本文研究其在采用最大似然（ML）译码的无记忆二进制对称信道（BSCs）上的性能。对于任意 $n \geq 2$，先前的研究已明确刻画了线性 $(n,4)$ 码中的一些最优码，但线性码中的最优码是否优于所有非线性码尚不清楚。在本文中，我们首先证明对于任意 $n\geq 2$，存在一个最优码（在所有 $(n,4)$ 码中），它要么是线性的，要么属于一类称为 Class-I 码的非线性码子集。我们为每个分组长度 $n\geq 2$ 识别出了线性 $(n,4)$ 码中的所有最优码，并发现了文献中未曾给出的码。对于从 $2$ 到 $300$ 的任意 $n$，所有最优 $(n,4)$ 码均被识别，其中除 $n=3$ 外，所有最优 $(n,4)$ 码都等价于线性码。存在不等价于线性码的最优 $(3,4)$ 码。此外，我们推导出一类称为 Class-II 码的非线性码子集，并证明对于任意 $n >300$，由线性码、Class-I 码、Class-II 码及其等价码组成的集合包含了所有最优 $(n,4)$ 码。Class-I 码和 Class-II 码都接近线性码，因为它们只涉及一种不包含在线性码中的列类型。我们的结果采用了一种比较两个码的 ML 译码性能的新技术，其特点是对信道输出的整个范围进行划分。