一般 Weierstrass 曲线的 sigma 函数的代数构造

Weierstrass 曲线 $X$ 是由 Weierstrass 标准形式 $y^r + A_{1}(x) y^{r-1} + A_{2}(x) y^{r-2} +\cdots + A_{r-1}(x) y + A_{r}(x)=0$ 确定的光滑代数曲线，其中 $r$ 为正整数，且每个 $A_j$ 是 $x$ 的具有一定次数的多项式。已知每个紧 Riemann 曲面都有一个与该曲面双有理的 Weierstrass 曲线 $X$。该形式给出了投影 $\varpi_r : X \to {\mathbb{P}}$ 作为一个覆盖空间。令 $R_X := {\mathbb{H}}^0(X, {\mathcal{O}}_X(*\infty))$ 且 $R_{\mathbb{P}} := {\mathbb{H}}^0({\mathbb{P}}, {\mathcal{O}}_{\mathbb{P}}(*\infty))$。近来我们得到了 $R_{\mathbb{P}}$-模 $R_X$ 的补模 $R_X^{\mathfrak{c}}$ 的显式描述，由此导出了除 $\infty$ 外的全纯一次形式、${\mathbb{H}}^0({\mathbb{P}}, {\mathcal{A}}_{\mathbb{P}}(*\infty))$ 以及迹算子 $p_X$ 的显式表达式，使得对 $\varpi_r(P)=\varpi_r(Q)$ 且 $P, Q \in X\setminus\{\infty\}$ 有 $p_X(P, Q)=\delta_{P,Q}$。利用它们，我们表达了第二类基本 2-形式 $\Omega$ 以及与 $X$ 的 sigma 函数的联系。