构型图的邻接矩阵

1960年，Hoffman和Singleton \cite{HS60} 解出了一个关于$n$阶方阵的著名方程，该方程可写为 $$(\kappa - 1) I_n + J_n - A A^{\rm T} = A$$ 其中$I_n$、$J_n$和$A$分别是单位矩阵、全1矩阵以及一个所有行和与列和均等于$\kappa$的$(0,1)$-矩阵。若$A$是某个$n_\kappa$型构型$\cal C$的关联矩阵，则左侧$\Theta(A):= (\kappa - 1)I_n + J_n - A A^{\rm T}$是$\cal C$的非共线图$\Gamma$的邻接矩阵。在某些情况下，$\Theta(A)$也是某个$n_\kappa$构型的关联矩阵，即由Lefèvre-Percsy、Percsy和Leemans \cite{LPPL} 引入的$\Gamma$的邻域几何。矩阵算子$\Theta$可以重复迭代，我们提出了求解广义Hoffman-Singleton方程$\Theta^m(A)=A$的问题。特别地，我们分类了所有行和与列和均等于$\kappa$（$\kappa = 3,4$）且是该方程解的$(0,1)$-矩阵$M$。作为副产品，我们得到了Kantor列表 \cite{Kantor} 中构型$10_3F$以及Betten和Betten列表 \cite{BB99} 中构型$17_4$（编号#1971）的关联矩阵的特征刻画。