求解 Poisson-Nernst-Planck 方程的自适应时间步长方案

具有广义 Frumkin-Butler-Volmer 边界条件的 Poisson-Nernst-Planck 方程（PNP-FBV）描述了伴随法拉第反应的离子输运过程，并在多个领域具有应用。在本文中，我们基于两种时间步长方法开发了一种求解 PNP-FBV 方程的自适应时间步长方案：全隐式（BDF2）方法和隐式 - 显式（SBDF2）方法。我们展示了在电流和电压边界条件下的模拟结果，并证明了该方案能够模拟大范围的参数，包括奇异摄动参数 $\epsilon$ 的任意值。当底层动力学使得解收敛于稳态解时，我们观察到基于 SBDF2 方法的自适应时间步长器产生的解“几乎”收敛于稳态，同时时间步长稳定在一个极限大小 $dt_\infty$。在本文的姊妹篇 \cite{YPD_Part2} 中，我们将 SBDF2 方案在稳态解附近线性化，并证明了线性化方案是条件稳定的。这种条件稳定性是导致自适应时间步长器行为的原因。虽然基于全隐式（BDF2）方法的自适应时间步长器不受此类时间步长约束，但其所需的非线性求解导致运行时间显著更长。