均匀随机点背景中丝状结构的自适应多尺度检测

给定 $n$ 个点构成的集合, 这些点可能均匀分布于单位正方形 $[0,1]^2$ 中。我们希望检验该集合虽然主要由均匀散布的点组成, 但是否也包含一小部分从某条(先验未知)且满足 $C^{\alpha}$-范数不超过 $\beta$ 的曲线上采样而来的点。该问题存在渐近检测阈值; 对于某个常数 $T_-(\alpha,\beta)>0$, 若从曲线上采样的点数小于 $T_-(\alpha,\beta)n^{1/(1+\alpha)}$, 则当 $n$ 很大时无法可靠检测。我们描述了一种多尺度显著游程算法, 该算法可在事先不知光滑性信息 $\alpha$ 或 $\beta$ 的情况下可靠检测数据在光滑曲线附近的聚集, 只要曲线上点数超过 $T_*(\alpha,\beta)n^{1/(1+\alpha)}$。因此该算法的检测阈值是最优的, 仅相差因子 $T_*/T_-$。我们方法的核心是通过计数数据在多尺度多各向异性条带中的隶属关系来分析数据。这些条带面积为 $2/n$, 并呈现多种长度、方向与各向异性。条带被划分为各向异性类; 每一类组织为一个有向图, 其顶点均为具有相同各向异性的条带, 边则将此类条带连向其“良好延续”。点云数据被归约为衡量条带隶属情况的计数。每个各向异性图被归约为仅由具有显著计数的条带构成的子图。当某个这样的子图包含一条连接许多连续显著计数的路径时, 算法拒绝 $\mathbf{H}_0$。