用于多值非线性第一阶偏微分方程超特征数水平集计算的自适应增长随机神经网络
数值分析
2026-03-03 v1 机器学习
数值分析
摘要
本文提出一种自适应增长随机神经网络 (AG-RaNN) 方法，用于计算具有超特征数的非线性第一阶偏微分方程的多值解，包括准线性双曲型守恒律和Hamilton-Jacobi方程。此类解在几何光学、地震波、量子动力学半经典极限以及线性波的高频极限中出现，与粘性解或熵解有显著不同。主要计算挑战在于，解在奇点形成后不再是函数，而是成为多个分支的并集。水平集公式通过将非线性动力学嵌入增广相空间中的线性输运方程，提供了一种系统性替代方案，代价是显著增加维数。为缓解计算负担，我们将AG-RaNN与自适应插值策略结合，后者在零水平集的管状邻域中集中采样，并结合层增长机制逐步丰富随机特征空间。在对输运场和特征流的常规正则性假设下，我们建立了AG-RaNN对水平集方程近似的收敛性结果。数值实验表明，所提方法能够有效恢复多值结构，能在高维setting中解析非光滑特征。
引用
@article{arxiv.2603.01093,
title = {Adaptive-Growth Randomized Neural Networks for Level-Set Computation of Multivalued Nonlinear First-Order PDEs with Hyperbolic Characteristics},
author = {Haoning Dang and Shi Jin and Fei Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.01093},
year = {2026}
}