有界区间上 Burgers 方程的作用泛函与拟势

考虑区间 $[0,1]$ 上带有非齐次 Dirichlet 边界条件 $u(t,0) = \rho_0$, $u(t,1) = \rho_1$ 的粘性 Burgers 方程 $u_t + f(u)_x = \epsilon\, u_{xx}$。通量 $f$ 为函数 $f(u)= u(1-u)$，$\epsilon>0$ 为粘度，且边界数据满足 $0<\rho_0<\rho_1<1$。我们研究了源于非平衡态统计力学模型、与上述方程相关的作用泛函所对应的拟势。我们给出了拟势的静态变分公式，并刻画了动态问题的最优路径。与先前的情况不同，对于足够小的粘度，定义拟势的变分问题存在多个极小化子。这一现象被解释为非平衡相变，并对应于拟势的超微分非单点集的情形。