以霍夫斯特特 G 序列定义的 Wythoff 游戏变体

本文研究经典 Wythoff 游戏的一种变体。经典形式以两堆石子进行，两位玩家轮流移除石子，可从单一或两堆石子中移除，若从两堆中移除则必须相等。移除最后一块石子或石子堆的玩家获胜。等价地，可考虑将棋子置于大型棋盘上的位置，玩家可沿任一方向（垂直、水平或对角线）以任意步数将棋子移动至棋盘左上角。获胜者是将棋子移动至左上角（坐标系中的 (0,0)）的玩家。我们称 (0,0) 为 Wythoff 游戏的终端位置。在本变体中，终端位置集合为 {(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),(2,0),(0,2)}。若玩家将棋子移动至该终端集合，则该玩家获胜。本变体的 P-位置由 Wythoff 游戏的 P-位置与霍夫斯特特 G 序列描述。该变体具有两个显著性质：对于满足 $x\geq 8$ 或 $y\geq 8$ 的位置，其 Grundy 数为 1 当且仅当该位置为 Wythoff 游戏的 P-位置。另一个显著性质是：对于满足 $x\geq 8$ 或 $y\geq 8$ 的位置，该位置是本变体的逆转版本（misere version）的 P-位置当且仅当该位置为 Wythoff 游戏的 P-位置。