多元分析中包含 CCA 与 F 矩阵的统一矩阵模型：最大特征值及其应用

设 $\bbZ_{M_1\times N}=\bbT^{\frac{1}{2}}\bbX$，其中 $(\bbT^{\frac{1}{2}})^2=\bbT$ 为正定矩阵，$\bbX$ 由均值为零、方差为一的独立随机变量构成。本文提出一个统一矩阵模型 $$\bold{\bbom}=(\bbZ\bbU_2\bbU_2^T\bbZ^T)^{-1}\bbZ\bbU_1\bbU_1^T\bbZ^T,$$ 其中 $\bbU_1$ 和 $\bbU_2$ 分别为维数 $N\times N_1$ 和 $N\times (N-N_2)$ 的等距矩阵，满足 $\bbU_1^T\bbU_1=\bbI_{N_1}$、$\bbU_2^T\bbU_2=\bbI_{N-N_2}$ 且 $\bbU_1^T\bbU_2=0$。此外，$\bbU_1$ 和 $\bbU_2$（随机或非随机）独立于 $\bbZ_{M_1\times N}$，且当概率趋于一时，$rank(\bbU_1)=N_1$ 且 $rank(\bbU_2)=N-N_2$。在 $N_1,N_2$ 和 $M_1$ 可比的情况下，我们在对 $\bbX$ 的矩假设下建立了其最大特征值的渐近 Tracy-Widom 分布。通过选择适当的矩阵 $\bbU_1$ 和 $\bbU_2$，典型相关分析（CCA）和 F 矩阵（包括中心化和非中心化版本）所用矩阵的最大特征值的渐近分布均可由 $\bold{\bbom}$ 的分布得到。此外，通过适当的矩阵 $\bbU_1$ 和 $\bbU_2$，矩阵 $\bold{\bbom}$ 还可应用于一些传统 CCA 矩阵无法处理的多变量检验问题。