两种规模的 Wright--Fisher 模型：通过均匀续期理论的渐近分析

我们考虑一种包含两种类型个体的种群，这两种个体因繁殖所需资源不同而被区分：类型 0（小）个体需要大小为 $\vartheta \in (0,1)$ 的分数资源单位，而类型 1（大）个体需要 1 个资源单位。每一代可用的总资源为 $R$。为形成新一代，个体被逐个抽取若干次，若剩余资源足够，则其后代被加入下一代。抽取后代为小类型的个体概率为 $\rho_{R}(x)$，其中 $x$ 为当前一代中小类型个体的比例。我们将此离散时间随机模型称为两种规模的 Wright--Fisher 模型，其中函数 $\rho_{R}$ 可代表突变和/或频率依赖选择。我们证明在演化时间尺度上，即加速时间因子为 $R$ 时，类型 0 个体的频率过程收敛于 Wright--Fisher 类型 SDE 的解。该 SDE 的漂移项解释了函数 $\rho_{R}$ 和繁殖策略引入的偏差，而后者还导致扩散项中出现额外的乘子。为证明此结论，将每一代内的动力学视为一个续期过程，种群规模对应于超过水平 $R$ 的第一次通遍时间 $\tau(R)$。该证明依赖于续期理论的方法，特别是通过 $\varepsilon$-耦合建立的二进制非算术随机变量的均匀版 Blackwell 续期定理。