谱CSP稀疏化理论

我们着手研究约束满足问题 (CSP) 的谱稀疏化。具体而言，我们引入了对布尔 CSP 实例的分数分配所具有的“谱能量”的概念，并定义“谱稀疏器”为保持该能量的近似值的约束子集。我们的定义不仅强化了 CSP 稀疏器的组合意义，也延伸了诸如图和超图的谱稀疏器等众所周知的概念。Khanna、Putterman 和 Sudan [SODA 2024] 的近期工作展示了对广泛 CSP 类的近线性大小的“组合稀疏器”，他们称为“field-affine CSP”。我们的主要结果是为所有field-affine CSP 构建一个多项式时间算法，该算法构造的谱 CSP 稀疏器大小为近二次。这一 CSP 类别包括图 (和超图) 切割、XOR 等更一般的任何可以写成 $P(x_1, \dots x_r) = \mathbf{1}[\sum a_i x_i \neq b \mod p]$ 的谓词。基于我们对分数分配谱能量的概念，我们还定义了 CSP 实例第二个特征值类比。我们随后展示了所有偶仪 XOR CSP 的切比雪夫不等式的延伸，表明第二个特征值大致捕捉了底层 CSP 的“扩张”。该延伸在所有约束均为偶 XOR 时特化为切比雪夫不等式，从而为这一强大的不等式提供了新的推广，将组合意义的扩张转化为分析属性。