关于 $k$ 阶层次布图的研究

布图是一种矩形分割，描述了电子模块在芯片上的相对放置。如果矩形分割中没有空房间或十字交叉，则称为马赛克布图。我们研究马赛克布图的一个子类，称为 $k$ 阶层次布图（缩写为 HFO-${k}$）。如果一个布图可以从单个矩形开始，通过在中间布图的房间内递归地嵌入最多 $k$ 个房间的马赛克布图而获得，则该布图为 HFO-$k$。当 $k=2$ 时，这恰好是切片布图类，因为仅有的具有两个房间的不同布图分别是带有垂直切片的房间和带有水平切片的房间。嵌入这样的房间等价于垂直/水平切片父房间。在本文中，我们刻画了对应于 HFO-$k$ 布图 Abe 标号的排列，并给出了一个对于任意特定 $k$ 可在线性时间内识别此类排列的算法。我们给出了具有 $n$ 个房间的 HFO-5 布图精确数目的递推关系，该关系也可轻易推广至任意 $k$。基于此递推关系，我们提供了一个多项式时间算法来生成具有 $n$ 个房间的 HFO-$k$ 布图的数量。考虑到其在 VLSI 设计中的应用，我们还给出了用于模拟退火等组合优化的 HFO-$k$ 排列族上的移动操作。我们还探讨了与马赛克布图具有双射对应关系的 Baxter 排列的一些有趣性质。