自指数列族的研究

我们介绍并分析了一个三参数的自指整数数列族 $S(x,y,z)$：从 $a(1)=x$ 开始，当指数 $k$ 已作为值出现时，后项增加 $y$，否则增加 $z$。这一简单规则生成了一座惊人的数百种行为，其中许多已被记录——尽管以相当非结构化的方式——在 OEIS 中。这一族数列最近由 Fokkink 和 Joshi 独立研究，他们将其命名为“hiccup数列”，并确立了其一般的形态本质。我们的工作提供了对主要子族的深入、互补分析。当 $y>z>0$ 时，我们证明密度 $a(k)/k$ 收敛于 $r^{2}-zr-(y-z)=0$ 的正根。两个子族 $S(x,Z+1,Z)$ 和 $S(x,Z,Z+1)$ 产生显式的非齐次 Beatty数列，为诸多 OEIS 条目提供显式公式。对于 $y=0$ 且 $z \ge 2$，数列最终呈周期并满足线性递推关系。判别数为零的临界情况揭示了三角形、正方形和六边形晶格上的几何图案。最后，通过树状表示我们发现其与 meta-Fibonacci 递推关系紧密相关。这些结果将 $S(x,y,z)$ 定位为连接加法组合学、数论和离散动力学的统一框架。