双矩阵博弈中的稳定集界与 Nash 均衡最大数量

Quint 和 Shubik (1997) 猜想，非退化 $n \times n$ 博弈的混合策略 Nash 均衡最多有 $2^n-1$ 个。该猜想对于 $n$ 至多为 4 时成立，但对于 $n=6$ 或更大时为假。我们对剩余的 $n=5$ 情形给出了肯定回答，该情形自 1999 年以来一直悬而未决。该问题可以转化为关于一对具有 $2n$ 个面的简单 $n$-多面体顶点的组合问题。我们引入了一种基于均衡指标的新障碍，指出均衡顶点属于多面体图的两个等大且不相交的稳定集。使用已知的 5 维 10 面对偶邻接多面体的 159,375 种组合类型的分类，直接验证了该界。非邻接多面体则使用额外的组合技术进行分析，其中该界被用于它们的不相交面。