二维 Euler 方程 DiPerna-Majda 间隙问题的稀疏解

一个中心性问题源自 1980 年代 DiPerna 和 Majda 的杰作，询问什么是最优衰减 $f > 0$，使得均匀速率 $|\omega|(Q) \leq f(|Q|)$ 的湍流最大函数保证在湍流表面初始数据下强收敛且无浓度。Majda (1993) 的著名结果表明，对于 distinguished sign 湍流薄片，$f(r) = [\log (1/r)]^{-1/2}$，$r<1/2$，是最优衰减。对于 mixed sign 湍流薄片，DiPerna 和 Majda (1987) 建立了 $f(r) = [\log (1/r)]^{-\alpha}$，$\alpha > 1$ 作为缺乏浓度的充分条件，而预期的间隙 $\alpha \in (1/2, 1]$ 仍悬而未决。在本文中，我们解决了 DiPerna-Majda 二维间隙问题：与 distinguished sign 湍流薄片的著名情况形成鲜明对比，我们识别出 $f(r) = [\log (1/r)]^{-1}$ 作为 mixed sign 湍流薄片的最优规律，排除了浓度。对于证明，我们提出一种新方法，显式构造具有 mixed sign 的二维 Euler 方程解，使得狂野行为在相关几何中的稀疏立方内产生(即，这些立方体不一定是成对不相交的，但其可能的重叠可以以精确方式受到控制)。这种策略灵感来自第一作者与 Milman 最近的工作 \cite{DM}，其中在能量守恒和稀疏性之间建立了强连接。