Tusn\'ady 不等式的加强

设 $\veps_1, \dots, \veps_m$ 为独立同分布随机变量,满足 $$P(\veps_i=1)= P(\veps_i= -1)=1/2,$$ 并令 $X_m = \sum_{i=1}^m \veps_i.$ 设 $Y_m$ 为与 $X_m$ 具有相同前两阶矩的正态随机变量。存在唯一确定的函数 $\Psi_m$,使得 $\Psi_m(Y_m)$ 的分布等于 $X_m$ 的分布。Tusn\'ady 不等式表明 $$\mid \Psi_m(Y_m) - Y_m \mid \leq \frac{Y_m^2}{m}+1.$$ 本文提出该不等式的一个加强版本。