一种用于几何演化定律相场公式最优控制的鲁棒高效自适应多重网格求解器

我们提出并研究一种新的求解策略，以高效准确地计算半线性最优控制问题的近似解，聚焦于几何演化定律的相场公式的最优控制。几何演化定律的最优控制出现在材料科学、图像处理、肿瘤生长和细胞运动等领域中。在当前工作中，我们聚焦于相场公式的最优控制问题，从而利用半线性抛物偏微分方程最优控制的成熟数学理论。所得最优控制问题的离散化近似在计算上具有挑战性，需要大量的计算时间与内存存储。本文的主要重点是提出、推导、实现并测试一种用于此类问题的高效求解方法。离散偏微分方程的求解器基于几何多重网格方法，结合处理问题中非线性的先进技术并利用自适应网格加密。提出并计算研究了一种用于前向和伴随问题的内部两网格求解策略，其显著减少了内存需求和CPU时间。此外，采用并行化以及控制的自适应步长梯度更新来进一步提高效率。连同对我们所提求解方法及其实现的详细描述，我们给出了若干计算结果，展示并评估了我们的算法在精度与效率方面的表现。本工作的一个亮点是三维最优控制的模拟结果，若无本工作提出的求解策略，该模拟在计算上将是不可行的。