一种通过合同变换同时对角化对称矩阵的随机算法

一族对称矩阵 $A_1,\ldots, A_d$ 是SDC（合同变换同时对角化，也称为非正交联合对角化），如果存在可逆矩阵 $X$ 使得每个 $X^T A_k X$ 都是对角矩阵。本文提出了一种新颖的随机SDC（RSDC）算法，该算法通过考虑该族的两个（随机）线性组合，将SDC简化为广义特征值问题。我们建立了精确恢复：如果该族恰好是SDC，则RSDC以概率 $1$ 实现对角化。在温和的正则性假设下，还建立了鲁棒恢复：给定一个 $\epsilon$-接近SDC的族，则RSDC以高概率将该族对角化，误差范数为 $\mathcal{O}(\epsilon)$。在正定性假设下（这在应用中经常成立），建立了更强的结果，包括变换矩阵条件数的界。为了实际使用，我们建议将RSDC与优化算法结合。通过合成数据、图像分离和EEG分析任务验证了所提方法的性能。结果表明，我们新开发的方法在效率上优于现有的基于优化的方法，同时达到了相当的精度水平。