表面最小排除型小 minors 的准多项式上界

作为图的最小型项目的一部分，Robertson 和 Seymour 于1990年证明，能够嵌入给定 surfaces 的图类可以通过有限的最小排除型集合进行表征。然而，由于其存在性质，该证明并不提供关于这些排除型的任何信息。Seymour 于1993年证明了第一个且至今唯一已知的关于给定 surfaces 最小排除型阶数的上界。该上界是 Euler 数 $g$ 的双指数，因此与 Euler 数 $g$ 上最小排除型阶数的 $\Omega(g)$ 下界相距甚远，可能也距离最佳上界很远。三十多年后，本文终于在降低该上界方面取得了进展，将上界降低为 Euler 数的准多项式。实现准多项式上界的主要催化剂是对最小排除型 $G$ 对于 Euler 数为 $g$ 的 surface 的 forbidden 结构特征大小的突破：尽管不难证明 $G$ 不包含 $O(g)$ 个在 $G$ 的某个嵌入中可收缩且嵌套的互不相交的循环（正如 Seymour 所展示的），但该上界可以降低到 $O(\log g)$，这对于本文获得 Euler 数的准多项式上界至关重要。作为副结果，我们还改进了当前关于 Euler 数为 $g$ 的 surface 上最小排除型 $G$ 的 treewidth 上界，通过改进 Seymour 提供的第一个且至今唯一已知的上界。